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斐波拉契的兔子

来源:科学揭秘 作者:小慧 数学故事 > 时间:2018-04-06 17:49:48

从前,有一个穷光棍,平时只知好吃懒做,不肯踏踏实实做事情,还经常想入非非做发财梦。

一天,他在路边捡到一个鸡蛋,他非常高兴,捧着鸡蛋就在脑子里就盘算开了:“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡,等小鸡长大了,就可以生蛋,我再把生的蛋孵成鸡,这些鸡又可以生更多的蛋,蛋又可变成更多的鸡……过不了几年,我就可以把蛋和鸡去换许多钱,然后可以盖新房,还可以娶个漂亮媳妇,生儿育女……”

他越想越高兴,不禁得意忘形手舞足蹈,忽听“啪”的一声,鸡蛋掉在地上,碎了!懒汉看着摔碎了的鸡蛋,放声痛哭:“哎呀,我的宝贝!我的房子呀!……”

上面这则笑话流传已久,对我们很有教育意义,然而恐怕谁都没有认真计算过:如果鸡蛋没有打碎,几年后这个懒汉究竟有多少只鸡,多少个蛋呢?

不过,公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(约1170~1250年)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用沙盘)中提出过一个“养兔问题”,却被无数人算过。这道题说的是:

某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔。再过一个月,大兔生了一对小兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔。如此下去,问一年后此人共有多少对兔子

你能算清吗?不少同学恐怕看完题就已经动手算了,而且很快就算出了答案。不过对不对可不敢保证。说实在的,这题要算对并不那么容易,这可要不慌不忙细心地算才行。

通常可以列一个表来算这个题:

填了几行后,你就可以总结出几条结论:

(1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数。(因上个月的小兔这个月都长成大兔)(2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数。(因上月大兔子这个月都需生一对小兔,而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子。)由(1)可知:每月小兔数就是前月的兔子总数。

(3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和。由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和。

若记第n个月的兔子数为fn,就有

f0+f1=f2,f1+f2=f3,f2+f3=f4……

一般的,有fn-2+fn-1=fn。有了这个规律,填这个表就很容易了。

你看,养一对兔子,一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了。

按这个规律,可以把兔子数一直写下去:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610……这样得出的一列数就称为“斐波拉契数列。”

波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题:

一棵树一年后长出一条新枝,新枝隔一年后成为老枝,老枝又可每年长出一条新枝,如此下去,十年后新枝将有多少?

这恰好也可以得到“斐波那契数”。

人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果。比如“斐”数与黄金分割(0.618)的关系,直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用;又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数,乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”。可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘。

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